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《人文》二ＯＯ六年四月第一四八期

看公孫龍如何解決〈羅素悖論〉

陳漢通

　　羅素（Bertrand Russell）於1902年根據《算術基本規律》而「提出的、著名的」悖論，今被稱爲「羅素悖論」。這個悖論有一個通俗版本，叫「理髮師悖論」。

　　它說「從今開始我規定，我只幫這個鎮上所有（不自己刮鬍子的人）刮鬍子！」於是有人就問「在此規定之下，那你能否幫你自己刮鬍子呢？」理髮師無言以答！

　　其實這個問題很容易解決。因爲他是理髮師，其幫人刮鬍子自然是要收費，再加上其所說的規定，亦只有在其理髮店之內才會生效。換言之、只要離開理髮店或不收費，就自然與其所說的規定無有抵觸，就理所當然地可以爲自己刮鬍子啦！難道你不准許理髮師下班嗎？

　　西洋的理髮師還可以等下班，我們中國的理髮師，就沒有這麼好的運氣了。看《封神榜》中，姜子牙封神，明明知道遺下自己，也只好啞忍，連嘆奈何的資格也沒有！難道你會容許「女子選美會」的評判，親自下場競選，然後再判自己的名次嗎？

　　如果真有容許的話，那麼選出來的冠軍是個「男子漢」也毋庸驚訝矣。而根據《算術基本規律》，其概括規則所說「由任意性質可定義一個集合」。而且「這個集合」可以包含「空集」或「這個集合自身」。

　　「∈」這是「屬於、被包含於」的符號

　　「~∈」這是「不屬於、不被包含於」的符號

　　故下述條件也可定義爲一個集合 A：先有一個x（而這個 x ~∈ x）然後以 A 來替換（因集合可包含集合自身），故此對任何一個 x 來說，x ∈ A，而且這個 x ~∈ x，所以得出悖論：A ∈ A，但同時這個 A ~∈ A。

　　學術一點說：設性質 P(x) 表示「x \not\in x（x ~∈ x）」，現預設由性質 P 確定了一個類 A----也就是說：「所有 x（x 屬於 A 且 x 不屬於 x）」「for all x（x \in A < = > x \not\in x）」那麼現在的問題就出來了，到底「A \in A（A ∈ A）」是否成立？

　　回答：首先，若「A \in A（A ∈ A）」，則 A 是 A 的元素，那么 A 具有性質 P，由性質 P可知「A \not\in A（A ~∈ A）」；其次，若「A \not\in A（A ~∈ A）」，也就是說 A 具有性質 P，而 A 是由所有具有性質 P 的類組成的，所以「A \in A（A ∈ A）」。但（A ∈ A）和（A ~∈ A）二者之中只能成立其一，因此自相矛盾、陷於兩難矣。

　　很迷糊、很頭疼是不是？那能說羅素是詭辯嗎？也不儘然，因爲羅素只是以符號、代號及集合論來推論，其結果也是合符邏輯，所以才會有第三次數學危機，所以才稱得上羅素悖論，而不是羅素詭辯！

　　但這對使用漢字的我們或翻譯爲中文，則是頗難想象的（筆者也須反復多次，方能明白羅素悖論，到底說的是什麼），因爲使用漢字、漢語的我們，早就不相信文字、語言了。

　　古代有《莊子》的得魚忘筌，得意忘言；《公孫龍子》的白馬非馬 ……

　　近代則再加上「文字獄、文化大革命、以言入罪」等等，更是雪上加霜。但根據筆者的理解，羅素所說的其實可以這樣理解：

　　物件x是一個集合x，這自然就會有……集合之內的「物件x 屬於集合x」與集合之外的「非物件x 不屬於集合x」，而這個後者根本就等同於「非物件x 屬於集合x」。

　　筆者即是說（~x ∈ x）「非物件x 屬於集合x」等同（x ~∈ x）「物件x 不屬於集合x」。唯此（~）否定符號之向前移動，並不合法；兼且與集合論的定義「物件x 屬於集合x」不符，但這卻是真實的意思。

　　其實集合論本身已說明「物件x 屬於集合x」，那轉成否定……即「（非）物件x（非）屬於集合x」，而 x 換成甚么「代號、符號」也是沒有任何關係的，因爲根本就無法建立任何集合。

　　據此即使單獨說（x 不屬於 x 或非x 屬於 x）其實就「必先做了、已經做了」一次集合論即（x 屬於 x），這應該是毫無疑問的，這即是說 x 已被二分，及只是二分而已。

　　注意集合論容許集合中存有「空類」與「集合自身」。但這些「空類」與「集合自身」，其與作者所言之「非x 屬於 x」完全不能等同，這應該是毋辯自明的。

　　所以「集合 A」的這個矛盾問題，事實上並不是由《集合論》而來，因爲集合論的目標只是「物件x」，而「非物件x」根本就是被捨棄的部份。

　　這就有如「雕刻石像、分類白馬」，能被留下的才是目標，不能留下的管它作甚；所以這個問題是在真正操作時產生、是由符號而來，而並非由定義而來。

　　今改以公孫龍的方式再說一次：以「馬」爲「物件x」，以「非馬」爲「非物件x」，以「馬類」爲集合A，即可以形象地設一「馬類圍欄」爲界，是「馬」的話入圈，「非馬」的話不准入圈。

　　今先問「馬類圍欄」是屬於「馬」呢，還是「非馬」呢？說是「馬」當然不能，但說是「非馬」則如何區分「馬與非馬」呢？故「馬類圍欄」既非「馬」、更非「非馬」。

　　今再追問「馬類」屬於「馬類」嗎？（A ∈ A）或問「馬類」不屬於「馬類」嗎？（A ~∈ A）有人會如此問嗎？這樣問又有何意義呢？

　　這就有如集合A，只是一個定義，問 A 包含不包含 A 自身，這與問「馬類」包含不包含「馬類」自身，同樣沒有意義。甚至連問「馬類」包含不包含馬，這同樣沒有意思。因爲世上「有馬」與否根本就不會影響「馬類」之存在！這就是「“馬”非馬」的意思，今「『馬』既非馬」自然「『白馬』亦非馬」矣。這才是「“白馬”非馬」的真正意思啊！

　　這是西洋邏輯，因由語言、思想發展爲文字，而再發展爲符號才會出現之問題，反觀中國名辯，因由符號、思想發展爲文字，而再以文字、語言來表達思想，而文字、語言事實上仍然是符號，所以根本就不會（亦不能）出現此等問題。

　　事實上這亦是拼音文字與非拼音文字之分別，唯現代中文（普通話、白話文、簡化字）其造字、文法及語法，已經偏向拼音文字方式，似有開倒車之嫌矣！

　　備註：筆者是先破譯了＜白馬論＞然後才知道世上有＜羅素悖論＞，而如此解說＜白馬論＞的恐怕亦只此一家，別無分舖！