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思考方法第九講  梁光耀


    邏輯這門學問的發展很奇怪，早在古希臘時代已由亞里斯多德確立了邏輯這門學問，我
們可稱之為傳統邏輯；可是，自此之後，邏輯這門學問並沒有重大的發展，直到十九世紀卻
突飛猛進，產生出現代邏輯，又名為符號邏輯[1]。


    傳統邏輯又名為三段論邏輯，三段論邏輯又分為三種，分別是定言、假言和選言三段論
。現代邏輯的範圍則廣泛得多，其實傳統邏輯所講的東西都可包含在現代邏輯之下，並且只
是佔現代邏輯的一個很小的部份，所以有些哲學家認為我們根本毋須再講傳統邏輯，直接講
現代邏輯便足夠。由於現代邏輯的範圍很大，我們在這裡只會講及命題邏輯和量化邏輯。為
一清眉目，我們可作以下的分類：


			   定言三段論

      傳統邏輯/三段論邏輯  選言三段論

			   假言三段論

邏輯

			   命題邏輯

      現代邏輯/符號邏輯

			   量化邏輯


    上一講我們已經講過命題邏輯，以及如何運用真值表去判斷命題邏輯這個系統中的論證
形式是否對確。可是，命題邏輯這個系統是難以處理以下的論證：


例一：	  所有人是哺乳類動物。

	  所有哺乳類動物是會死的。

      ───────────────

      ∴  所有人是會死的。


    因為以上的論證是以語詞為變數的單位，而命題邏輯則以語句為變數單位。當我們將語
詞的內容抽掉，以符號代入之後，就會得出以下的論證形式：


例二：	  所有S是M

	  所有M是P

      ────────

      ∴  所有S是P


    以「S」代入「人」，以「M」代入「哺乳類動物」，以「P」代入「會死的(事物)」。
「S」、「M」和「P」都是語詞變數，並不是語句變數。


    當然，以上的論證是可以用現代邏輯中的量化邏輯去處理[2]，不過我想在此介紹傳統
邏輯中的定言三段論，因為它畢竟是一邏輯系統的典範，即使講求實用上的價值，它跟我們
的常識亦較接近(相對於量化邏輯而言)。


    「定言三段論」，故名思義，三段論是指這種推論只有三段：兩個前提，一個結論。定
言的意思是指定言命題，定言命題共有四種，分別以A、E、I、O四個英文字代表：


    A：所有S是M

    E：沒有S是M

    I：有些S是M

    O：有些S不是M


    例二就是定言三段論這個系統中的一個論證形式。每一個論證只有三個語詞變數，通常
以「S」、「M」和「P」來代表。在定言三段論這個系統中，有四種命題，而論證形式就是
以其中三個(可以重複，例如三個都可以是A命題)來組成，那麼，總共有4×4×4=64個不同
的組合，例如：


     A	  A    A    A

     A	  A    A    A

   ── ── ── ──

     A ， I ， E ， O ， ……


    但由於每一個組合，例如「AAA」又可以有四種不同的形式：


1.  所有S是M

    所有M是P

  ──────

  ∴所有S是P


2.  所有S是M

    所有P是M

  ──────

  ∴所有S是P


3.  所有M是S

    所有P是M

  ──────

  ∴所有S是P


4.  所有M是S

    所有M是P

  ──────

  ∴所有S是P


    以上四個不同的論證形式都是屬於「AAA」這個組合。


    因此，在定言三段論這個系統中，共有64×4=256個論證形式。邏輯家的工作之一就是
在這256個論證形式中，找出何者是對確的論證，何者是不對確的。判斷在定言三段論這個
系統中的論證形式是否對確的方法有很多種，我們在這裡會講的是「范氏圖解」
(Venn Diagrams)這種方法。


    我們先把「S」、「M」和「P」看作「集」，然後用范氏圖解來表示A、E、I、O這四種
命題的意思。


    A：所有S是M


    「所有S是M」這句話的意思可了解成「屬於S而不屬於M的東西是不存在的」，例如我說
：「所有人是哺乳類」，這句話等於說：「是(屬於)人而不是(屬於)哺乳類的東西是不存在
的」。


    A命題的范氏圖如下：


    用斜線劃去的地方是表示這裡並沒有分子存在，這部份正是屬於S而並不屬於M的部份，
意思是「屬於S而不屬於M的東西是不存在的」，用符號表示如下：


    S∩∼M=φ	 「φ」代表空集(即沒有任何分子存在)


    前面已經講過，「屬於S而不屬於M的東西是不存在的」這句話是相等於「所有S是M」這
句話，因此這圖能表示「所有S是M」，即A命題的意思。


    E：沒有S是M


    「沒有S是M」這句子的意思即是「屬於S又屬於M的東西是不存在的」


    S∩M=φ


    既然S和M的交集沒有分子存在，故用斜線將這部份劃去。


    I：有些S是M


    「有些S是M」的意思是「有些東西既屬於S，又屬於M」，故其交集不是一個空集。


    S∩M≠φ


    我們用「X」劃在這個範圍內，是表示這裡有分子存在。


    O：有些S不些M


    同樣道理，「有些S不是M」的意思是「有些東西是屬於S，但不屬於M」，故在這個範圍
有分子存在，不是空集。


    S∩∼M≠φ


    故用「X」劃在這個範圍之內。


    A、E、I、O這四種命題是有其邏輯上的關係，四角對立表是用來表示它們之間的關係[3
]。


    現在我們就看看如何運用范氏圖解去判斷一個論證(在定言三段論這個系統中)是否對確
，以例二的論證形式試試：


	所有S是M

	所有M是P

    ────────

    ∴	所有S是P


    我們需要畫兩個圖，一個圖代表前提，另一個代表結論：


    第一個前提「所有S是M」


    圖如下：


    第二個前提「所有M是P」


    圖如下：


    兩個前提加在一起就是：


    結論是「所有S是P」


    現在我們就看看究竟結論要講的東西是否在前提中找得到。找得到的話，就是對確論證
，找不到的話，就不是對確論證(因為，一個對確論證就是前提涵蘊著結論，結論要講的東
西早就存於前提中)。


    前提：		  結論：


    很明顯，結論要講的東西，都能夠在前提中找得到(注意斜線的範圍)。故這是一對確論
證。


    試看另一個論證形式：


例三：	  所有S是M

	  所有P是M

      ────────

      ∴  所有S是P


    前提的圖：


    結論的圖：


    很明顯，結論要講的東西，有部份不能在前提中找到(注意斜線的範圍)；換言之，這論
證形式是不對確的。


註  釋


[1]邏輯是一門研究推論的學問，簡單來說，推論有演繹和歸納兩種，可是邏輯方法這部份
講的只是演繹推論，邏輯的狹義意思就是指演繹邏輯。廣義的邏輯才包括歸納邏輯。歸納推
論會留待科學方法這部份處理。


[2]在量化邏輯中，我們可將A、E、I、O這四種命題用現代邏輯的符號來表示：


   A：「所有S是M」寫成	x(Sx→Mx)

      x(Sx→Mx)可以唸成對於任何一個事物x而言，如果這個事物是S的話，則一定也是M。


   E：「沒有S是M」寫成	x(Sx→∼Mx)

      x(Sx→∼Mx)可以唸成對於任何一個事物x而言，如果這個事物是S的話，則一定不是M
。


   I：「有些S是M」寫成	ыx(Sx•Mx)

      ыx(Sx•Mx)可以唸成至少有一個事物x存在，這個事物x是S，並且又是M。


   O：「有些S不是M」寫成  ыx(Sx•∼Mx)

      ыx(Sx•∼Mx)可以唸成至少有一個事物x存在，這個事物x是S，但並不是M。


   原來在定言三段論這系統的論證形式就可以用現代邏輯的符號改寫，例如：


	  所有S是M

	  所有M是P

      ────────

      ∴  所有S是P


   改寫成


	 x(Sx→Mx)

	 x(Mx→Px)

      ────────

     ∴  x(Sx→Px)


   要判斷經改寫後的論證形式是否對確的方法有「自然演繹法」。


   要說明「自然演繹法」，必須介紹這方法所涉及的推論規則，但在這裡並不能詳細講解
這25條規則，只能夠將這方法的原理作一簡要的說明。還記得我們在中學時學的幾何證明嗎
？原理跟用「自然演繹法」去證明論證形式對確是差不多。


   就以

	 x(Sx→Mx)

	 x(Mx→Px)

      ────────

     ∴  x(Sx→Px)


   這個論證形式為例。


   證明：

   1.x(Sx→Mx)

   2.x(Mx→Px)	    /∴x(Sx→Px)

   3.Sa→Ma	       1. U.I.

   4.Ma→Pa	       2. U.I.

   5.Sa→Pa	       3.4. H.S.

   6.x(Sx→Px)	       5. U.G.


   先將兩個前提寫在左邊，以1.2.表示，∴之後的是要證明的結論寫在右邊。然後運用推
論規則，由前提去推出要證明的結論，每一步推論都要將理由寫在右邊，例如3.這結論是由
1.這一個前提，根據V.I.這條規則推出；5.這結論是由3.4.這兩個前提，運用H.S.這條規則
推論出來。


[3]四角對立表如下：


   A命題和I命題的關係是「涵蘊」，A涵蘊I，意思是由A命題可直接推出I命題，例如：由
「所有S是M」可推論出「有些S是M」。E命題和O命題同樣是涵蘊關係，E涵蘊O，例如：由「
所有S不是M」可推論出「有些S不是M」。


   A命題和E命題的關係是「正對反」，意思是它們不可能同時為真。I命題和O命題的關係
則是「負對反」，意思是它們不可能同時為假。


   A命題和O命題的關係則是「矛盾」，意思是它們不可能同時為真，亦不可能同時為假。
如果A命題是真的話，則O命題是假，反之亦然。E命題和I命題的關係也是如此。

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