論廣義哥德巴赫猜想
程
平
內容摘要：本文是一篇專門探討哥德巴赫猜想的文章。作者通過對自然數中能夠找到代數表達式的合數進行分析，並以此為突破口，提出了"廣義哥德巴赫猜想"。即："任何一個大於1的自然數J，都可以表示成兩個素數之和，當且僅當J≠2Ｈ+3,
Ｈ＝n+2nr+r ,n、r為任意自然數；Ｈ為合數基。"在"廣義哥德巴赫猜想"中，所有"只能被1和它自己整除的自然數"都是素數，包括{
1，2，3，5，7，11，……}。
關鍵詞：素數 合數 合數基 廣義哥德巴赫猜想
1742年，德國的一名數學教師哥德巴赫，通過大量驗算提出了一個猜測，即：每一個大於2的偶數，都可以表示為兩個素數之和，如6=3+3，14=3+11等等。這就是著名的哥德巴赫猜想，以下簡稱為「猜想」。
人們對哥德巴赫猜想難題的熱情，歷經兩百多年而不衰。世界上許許多多的數學工作者，殫精竭慮，費盡心機，然而至今仍不得其解。
本文將從邏輯學、哲學和數學相結合的角度，對「猜想」問題作一些思考，在此基礎上，嘗試提出一種拓展了的表達形式——廣義哥德巴赫猜想。
一、自然數奇數合數公式
定義：Ｈ＝n+2nr+r
,n、r為任意自然數；Ｈ為合數基；
定義：S為自然數奇數合數。
那麼，自然數奇數合數公式為：
S ＝
2(n+2nr+r)+1，n、r為任意自然數
這個公式的證明是這樣的：
一個奇數合數必然能夠表達成兩個奇數的積，也就是，
S＝（2n+1）（2r+1）＝
2(n+2nr+r)+1，n、r為任意自然數
Ｈ＝n+2nr+r
,n、r為任意自然數
Ｈ為合數基，但是合數基與自然數奇數合數是兩個不同的概念。
只有 S
＝ 2Ｈ+1，S才是自然數奇數合數。
令n、r從小到大，驗算合數基，不難發現，合數基的數列為：
Ｈ＝ {4，7，10，12，13
……}
對應的奇數合數數列為：
S ＝ {9，15，21，25，27
……}
引入合數公式和合數基概念的目的在於：奇數，分為奇數合數和奇數素數兩大類；奇數中，除了奇數合數之外，其它的數都是奇數素數。在目前沒有找到素數公式的時候，將可以找到代數表達式的奇數合數作為重點研究對象，有可能使得研究的思路更加清晰，並簡化問題。
二、「猜想」的哲學、邏輯學分析
從邏輯學的角度，數學家們試圖證明「猜想」的邏輯推理，需要依照邏輯學的原理。因此，「猜想」證明工作的成敗，既是一個數學的課題，同時，證明過程中邏輯體系的建構，也是至關重要的。
「猜想」歷經兩百多年而不得其解，說明目前通用的哲學觀、方法論，不足以成為證明「猜想」的哲學基礎。也就是說，如果「猜想」真的得證，其證明過程本身，必須突破現行的哲學概念和哲學方法。
下面將作一點具體分析，由於作者學識有限，錯誤之處在所難免，希望專家、學者批評指正。
證題：每一個大於2的偶數，都可以表示為兩個素數之和。
定義：1的定義：自然數1的定義是數學最基礎的定義；1是思維繫統純粹主觀的、理想化的概念，它是完全純粹的、理想化的1，不多一點，也不少一點。
原理一：1+1=2，它是數學中最基本的加法原理。人的大腦在進行數學這種抽像的、形式化的、定量的思維活動中，首先確定的原理是1+1=2。兩個主觀的、理想化的1，在思維中相加的過程完全理想化，不受任何干擾，不多一點，也不少一點，正好絕對等於2。
原理二：1+1+1+……=無限，它是數學中的無限性原理，即允許1+1=2，
1+1+1=3，1+1+1+1=4……，允許這種主觀的、理想化的相加過程在思維中連續地、無限地發展。
證明：素數的定義：只能被它自己和1整除的自然數。
這個定義，除了用到1的定義之外，還用到了兩個原理，即素數是一種只與1有關而又遵循加法原理和無限性原理的數。
那麼，「非素數」與素數的本質區別在哪裡呢？答案是：「非素數」是不僅僅與1有關而又遵循加法原理和無限性原理的數；除了1以外，還能被其它數整除，說明「非素數」的定義，是建立在1的定義、整除的定義、加法原理和無限性原理之上。
整除的定義：表示1和除數可以同時作為完全純粹的、主觀的、理想化的概念。
推論一：在1的定義、加法原理和無限性原理的邏輯前提下，素數沒有基於乘法的表達公式（等式）。素數問題的實質是一個「加法問題」。
在定義素數時，思維中「乘法」、「除法」、「除數」這些概念還沒有建立起來。思維中素數形成的邏輯關係是：
「1的定義「+「加法原理」+「無限性原理」->
素數
「素數」+「整除的定義」
->
合數
因此，按照以上的邏輯關係，素數當你接受其概念之時，它就僅僅只是思維中「加法形態」的問題。如果硬是要尋找基於乘法之上的素數公式，那將是違背邏輯學的基本原理的。
推論二：在1的概念、整除的定義、加法原理和無限性原理的邏輯前提下，「非素數」（包括偶數和奇數合數），存在基於乘法的表達公式（等式），其中：
Q=2N，Q表示自然數偶數；
S＝
2(n+2nr+r)+1＝2Ｈ+1
，S為自然數奇數合數，Ｈ為合數基，n、r為任意自然數。
根據推論二，定義X為素數基，那麼素數的表達式為
Z
＝2X+1,
X ≠ H ≠ n+2nr+r
, n、r為任意自然數。
在推論一、推論二的邏輯前提下，「猜想」問題實質上變形為另外一個問題：為什麼兩個素數之和可以含蓋全體偶數。
令：Z
+ Z』
＝
Q， Z 、Z』表示素數
即
（2X+1） + （2X』+1）＝
Q ， X、X』表示素數基
由於上式左邊中，表示X和X』的不等式X
≠ n+2nr+r
, n、r為任意自然數，n、r的取值在無限範圍內連續無斷點；又由於已經驗算表明上式右邊的Q在有限範圍連續無斷點，故由此推論上式右邊也在無限範圍內連續無斷點。
即 Z
+ Z』
＝
Q 恆成立，亦即，兩個素數之和可以含蓋全體偶數。
因此，哥德巴赫猜想得證。
三、哥德巴赫猜想的廣義表達式
對於一個數學愛好者來說，也許本文的上述證明，仍然不能讓他們信服。他們會說，你的證明用到了一個新的猜想——「基於不等式的表達式，其左邊具有連續性，右邊也具有連續性」；你是用這個新的猜想，置換了哥德巴赫猜想。
對於上述這種可能的反駁，筆者作如下解釋：
1、 本文確實用「無限連續性」原理置換了哥德巴赫猜想；
2、 「無限連續性」原理是比「猜想」更加基礎層次的邏輯前提，從邏輯學的角度，這個邏輯前提，對證明過程而言是有效的；
3、 本文的意義在於置換之後，已經可以從邏輯上詮釋哥德巴赫猜想；
4、 本文提出了「在1的定義、加法原理和無限性原理的邏輯前提下，素數沒有基於乘法的表達公式（等式），素數問題的實質是一個『加法問題』」，這樣一個新的論斷；
5、 如果外延發揮一下本文的方法，可以引申出許多思考、探索的方向，還可以引申出一個廣義的哥德巴赫猜想。
定義素數的全集合為：
Z = { 1，2，3，5，7，11，……}，
那麼，廣義的哥德巴赫猜想為：
「任何一個大於1的自然數J，都可以表示成兩個素數之和，當且僅當J≠2Ｈ+3,
Ｈ＝n+2nr+r ,n、r為任意自然數；Ｈ為合數基。」
廣義的哥德巴赫猜想將素數的定義擴展到了素數的全集合，即允許定義1和2
為素數，並且提出了一個更加神奇的「全定域廣義哥德巴赫猜想」，以及「廣義哥德巴赫猜想」成立的條件。
廣義「猜想」的哲學、邏輯學創新，在於將全體大於1的自然數納入「猜想」的命題之內。按照廣義「猜想」，只要某一自然數不等於2Ｈ+3，即不等於{11、17、23、27、29、35、37、41
……}，那麼它都可以表示成兩個素數之和。例如：
3 = 1+2 ，9 =
2+7，10 = 5+5 ，12 = 5+7，15= 2+13 ，……
在廣義「猜想」中，2是素數。
2符合素數的定義，2完全屬於「只能被它自己和1整除的自然數」的範疇。
廣義"猜想"提出之後，由於所有偶數都不可能等於2Ｈ+3這樣一個奇數表達式,因此，原來的哥德巴赫猜想成為廣義"猜想"的特例，成為名副其實的"狹義哥德巴赫猜想"。
關於廣義"猜想"與狹義"猜想"的邏輯關係問題，本文認為，不宜將這個問題簡單化，就如同狹義相對論和廣義相對論的邏輯關係一樣。廣義"猜想"與狹義"猜想"的邏輯學意義，需要引起哲學、數學和邏輯學的學者們進一步關注。
參考書目：
１
《現代邏輯科學導引》王雨田
主編
中國人民大學出版社
２
《20世紀西方哲學名著導讀》邱仁宗
主編，湖南出版社
作者簡介：程平，男，1965年生，現任武漢市社會科學院哲學所副研究員
通訊地址：武漢市發展大道3081號，武漢市社會科學院
程平 收 郵編430015